そもそものところですが、88人月でなぜ8月末までに完了しなければいけなくなるのでしょうか。
1月10人月ずつなら1月は10人月、2月は10人月………8月は10人月、9月で8人月ではないのでしょうか。

すみません、あまり人月について分かっておらず、解説いただきたいです。。

[人月について]
人月 = 人数 x 月数
です。88人月ならば、
88人月 = 8人 x 11ヶ月
(8人が11ヶ月間行う作業の量)
や、
88人月 = 2人 x 44ヶ月
(2人が44ヶ月間行う作業の量)
や、
88人月 = 10人 x 4ヶ月 + 12人 x 4ヶ月
(10人で4ヶ月行い、その後12人で4ヶ月行う作業の量)
など、意味は「人月 = 人数 x 月数」です。

>そもそものところですが、88人月でなぜ8月末までに完了しなければいけなくなるのでしょうか。
これは、問題設定で「8月末までに終わらせたいと考えた場合」と考えればいいでしょう。

[この問題について]
「作業を開始した1月から5月までは各月10名を投入したが」とあるので、
10人 x 5ヶ月 = 50人月
分終わったと考えるのが普通ですよね。しかし、「40人月分の作業しか完了していない」とあります。これは、最初に「1人の能力を高く考えすぎた」ことが原因です。実際どれくらいの能力かを考えると、
40人月/50人月 = 0.8
となり、最初に想定していた能力の80%とわかります。
「6月以降のすべての要員の作業効率は，5月までの要員と同じである」とあるので、追加する人たちも80%の作業効率の人たちと考えます。
n人追加すると考えると、6月、7月、8月の3ヶ月間で、
(10 + n)人 x 3ヶ月 x 0.8
人月分の作業ができます。
残っている作業は、88人月 - 40人月 = 48人月 ですから、
48人月 <= (10 + n)人 x 3ヶ月 x 0.8
を解くと、
10 <= n
となり、最低10人必要とわかります。

がつくんさん

解説ありがとうございます！！
間違えた後解説ばっかり見ていたのと寝ぼけていたので問題文の「8月末までにこのプロジェクトを完了するためには」という前提を見落としていました。

人月についてもわかりやすいご説明ありがとうございます！