設問のオートマトンでビット列が受理されるまでの流れは、
"0"を0回以上繰り返す
"1"を出力する
"1"を0回以上繰り返す
"0"を出力する
"0"又は"1"を0回以上繰り返した後、受理される
となります。(下図参照)

(2)と(4)の手順に注目すると、"1"の後には必ず1つ以上の"0"が含まれなければならないことがわかります。したがって選択肢のうち受理可能なビット列は「1010」のみです。

この説明の1の後に必ず1つ以上の0が含むっていう所がわからないので解説してくださる方いましたらよろしくお願いします。

28年のものですかね。
「"1"の後」というよりは、「1つ以上の"1"」（11……11）の後な気がします。
00……00【1】11……11【0】**……**    を受理するので。
※"*"1字は"0"か"1"1字をいう。
※【】部は必須でそれ以外は省略可能。