平成20年秋期試験問題 午前問77
問77解説へ
製品M，Nを，機械P，Qによる2工程で生産している。表は，各製品を1単位生産するために要する各機械の所要時間，及び各製品の1単位当たりの販売利益を示す。機械P，Qの月間稼働可能時間はいずれも200時間である。販売利益が最大となるように製品M，Nを生産し，すべてを販売したときの販売利益は何万円か。ここで，製品M，Nともに生産工程の順番に制約はなく，どちらの機械を先に使用しても製品は生産できるものとする。
- 110
- 120
- 135
- 140
正解 ウ問題へ
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解説
利益が最大化することを考えると、次の3つのケースを検討することになります。
①では、機械Pの稼働時間いっぱいまで製品Mを製造すると「200時間÷30分＝400個」が出来上がります。機械Pの余力がないので製品Nの生産量はゼロです。このときの利益額は「2,500円×400個＝100万円」となります。
②では、機械Qの稼働時間いっぱいまで製品Nを製造すると「200時間÷30分＝400個」が出来上がります。機械Qの余力がないので製品Mの生産量はゼロです。このときの利益額は「3,000円×400個＝120万円」となります。
③では、機械P、Qの稼働時間を最大限利用したときの、製品Mの生産量と製品Nの生産量をそれぞれx、yとし、連立方程式を解くことによって求められます（200時間＝12,000分に直しています）。
{30x＋15y≦12,000 … (1)
{20x＋30y≦12,000 … (2)
先に(1)の式を解きます。
30x＋15y＝12,000
15y≦12,000－30x
y＝800－2x … (3)
(3)の式の解を(2)の式に代入します。
20x＋30(800－2x)＝12,000
20x＋24,000－60x＝12,000
－40x＝－12,000
x＝300 … (4)
(4)の式の解を(3)の式に代入します。
y＝800－2×300
y＝800－600
y＝200
両方の機械をフル稼働させた場合、製品Mは300個、製品Nは200個の生産が可能ということがわかりました。生産された製品をすべて販売したときに得られる利益は、
2,500円×300個＋3,000円×200個
＝750,000円＋600,000円
＝1,350,000円
したがって、3つのケースのうち最も高い135万円が正解です。
- 製品Mを優先的に生産する
- 製品Nを優先的に生産する
- 機械P、Qの稼働時間を最大限利用するように、製品M、Nを生産する
①では、機械Pの稼働時間いっぱいまで製品Mを製造すると「200時間÷30分＝400個」が出来上がります。機械Pの余力がないので製品Nの生産量はゼロです。このときの利益額は「2,500円×400個＝100万円」となります。
②では、機械Qの稼働時間いっぱいまで製品Nを製造すると「200時間÷30分＝400個」が出来上がります。機械Qの余力がないので製品Mの生産量はゼロです。このときの利益額は「3,000円×400個＝120万円」となります。
③では、機械P、Qの稼働時間を最大限利用したときの、製品Mの生産量と製品Nの生産量をそれぞれx、yとし、連立方程式を解くことによって求められます（200時間＝12,000分に直しています）。
{30x＋15y≦12,000 … (1)
{20x＋30y≦12,000 … (2)
先に(1)の式を解きます。
30x＋15y＝12,000
15y≦12,000－30x
y＝800－2x … (3)
(3)の式の解を(2)の式に代入します。
20x＋30(800－2x)＝12,000
20x＋24,000－60x＝12,000
－40x＝－12,000
x＝300 … (4)
(4)の式の解を(3)の式に代入します。
y＝800－2×300
y＝800－600
y＝200
両方の機械をフル稼働させた場合、製品Mは300個、製品Nは200個の生産が可能ということがわかりました。生産された製品をすべて販売したときに得られる利益は、
2,500円×300個＋3,000円×200個
＝750,000円＋600,000円
＝1,350,000円
したがって、3つのケースのうち最も高い135万円が正解です。
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