解説

半加算器(はんかさんき，Half adder)は、2進数の同じ桁どうしの演算をして(通常は最下位の桁)、桁上がりは桁上げ出力(Carry out)によって出力する回路です。

　に入る論理回路は、表1「半加算器を実現する論理回路」の入力X、YとZの関係に注目するとわかります。真理値表を見てみると、XとYの値が同じ時には0、二つの入力が異なるときには1をZに出力することから、XOR回路と同一の真理値表となっていることがわかります。

したがって、　に入る論理回路は、XORが適切です。

∴a＝XOR

解説

全加算器(ぜんかさんき，Full adder)は、2進数の最下位以外の同じ桁どうしの演算をして、下位からの桁上げ入力を含めて出力する回路です。

〔cについて〕
こちらから先に解いた方がわかりやすいので解説の順番を逆にします。

cにはいる3つの出力がすべて1(表の最下行)のときの、全加算器の途中にあるC₁、C₂の値を確認します。

まず半加算器1では、X、Yの演算が行われます。両方とも1なので繰上がり桁であるC₁が1、Zが0になります。
半加算器2では、下位桁からの繰り上がりであるC_inと半加算器1からのZ＝0の演算が行われます。C_in＝1、Z＝0なので、繰上り桁であるC₂は0、Zが1になります。

下図は回路図に出力値を書き入れたものです。図からも、C1＝1、C2＝0となることがわかります。

∴c＝ウ：C₁＝1、C₂＝0

〔bについて〕
bに入る回路図を特定するためには、二つの入力C1、C2と最終的な出力Cの関係を確認する必要があります。

表2の「全加算器の真理値表」と表3「X、Y、Cinと、C1、C2の関係」を組み合わせたものが下表です。赤線で囲んだ部分が、入力C₁、C₂と出力Cの関係を表している部分です。

表を見ると、C₁又はC₂のどちらかが1であれば、出力Cには1が出力されるような関係になっていることがわかります。

この入出力の関係となる論理回路図はOR回路であるため、bに入るのはOR回路ということになります。

∴b＝エ：OR

解説

一見複雑に見える設問ですが、AとBを2の補数表現で表し地道に計算していくことで正解にたどりつくことができます。

まず、A＝－1とB＝－2を2の補数表現に変換します。
先に変換方法を確認しておくと、絶対値がnである負数を2の補数表現で表す手順は、

1. nを2進数で表す。
2. すべてのビットを反転させる。
3. 1を加算する。

という順番で行います。

手順通りにA、Bを変換すると、

• A＝－1→0001→1110→1111
• B＝－2→0010→1101→1110

となります。

これで、図3「AとBを加算してSを求める加算器」のA₄A₃A₂A₁、B₄B₃B₂B₁に入る値がわかったので、これを図に書き入れます。そして、表1及び表2の半加算器、全加算器の真理値表を参考にしながら、各出力を計算していきます。上図の通り正しく出力を計算できれば、C1＝0、C2＝1、C3＝1、C4＝1という値になると思います。

ちなみに演算結果を表すS4～S1の値は、1101となっており2の補数表現での"－3"を示しています。つまり、この加算器によって"－1＋(－2)＝－3"の演算が正しく行われたことがわかります。

∴エ：C1＝0、C2＝1、C3＝1、C4＝1