分野：テクノロジ系
中分類：基礎理論
小分類：離散数学

10進数の小数部をN進数の小数に変換する方法の一つとして、10進小数に基数Nを掛けて演算結果の整数部を取り出し、さらに演算結果の小数部に基数Nを掛けて整数部を取り出して…と繰り返すものがあります。この計算過程で小数部が0になれば有限小数であると言えます。

例えば10進小数 0.8125 を8進小数にするには以下のように計算します。この方法を用いて各10進小数が8進数の有限小数になるかどうかを確認します。

• 0.3×8＝2.4
  0.4×8＝3.2
  0.2×8＝1.6
  0.6×8＝4.8
  0.8×8＝6.4
  小数部が再び0.4になり、後は無限に繰り返すことになるので無限小数（0.23146₍₈₎）です。
• 0.4×8＝3.2
  0.2×8＝1.6
  0.6×8＝4.8
  0.8×8＝6.4
  小数部が再び0.4になり、後は無限に繰り返すことになるので無限小数（0.3146₍₈₎）です。
• 正しい。0.5×8＝4.0 と小数部が0になるので有限小数（0.4₍₈₎）です。
• 0.8×8＝6.4
  0.4×8＝3.2
  0.2×8＝1.6
  0.6×8＝4.8
  小数部が再び0.8になり、後は無限に繰り返すことになるので無限小数（0.6314₍₈₎）です。

なぜ小数部が0になれば有限小数になるのかというと、8進数の小数（0.a₁a₂a₃…a_n）は、

　a₁×8^-1＋a₂×8^-2＋a₃×8^-3＋・・・＋a_n×8^-n

のようになっていて、これを8倍すると、8^-1→8⁰ で、最初の項が整数になります。他の項も、8^-2→8^-1 のようにひとつ上がっていきます。これを繰り返すと、8^-n の項は8をn回掛けた時点で整数になります。つまり、有限桁であれば何回目かで小数部分がなくなります。