分野：テクノロジ系
中分類：基礎理論
小分類：離散数学

設問では「ある整数値を…2進数記法で表すと最下位ビットが"11"であった」としていますが、最下位2ビットが"11"となる整数値の特徴は正負によって異なります。

[正の数の場合]
正の数に対しては2の補数を適用しないので、2進数表現 xx…x11 をそのまま10進数に直すことを考えます（xは任意のビット）。最下位2ビットが"11"となる正の数は、

• 111₍₂₎ → 7₍₁₀₎
• 1011₍₂₎ → 11₍₁₀₎
• 10111₍₂₎ → 23₍₁₀₎
• 110011₍₂₎ → 51₍₁₀₎

というように、常に「4で割った余りが3である数」になります。これは4で割るという行為が2進数のビット列を右に2つシフトさせることと同義だからです。ビット列全体を右に2つシフトさせると、"11"（＝10進数で3）の部分が端数（＝除算の余り）となります。

[負の数の場合]
2の補数に変換したときと逆の手順で、その負数の絶対値を示すビット列を求めます。

1. xx…x11 から1を引く。
   　xx…x10
2. 全てのビットを反転させる。
   　xx…x01 //絶対値の2進数表現

これにより、2の補数表現で最下位2ビットが"11"となる負数があるとき、その負数の絶対値の最下位2ビットは必ず"01"になることがわかります。最下位2ビットが"01"となる数は、

• 101₍₂₎ → (絶対値)5₍₁₀₎ → (負数)－5₍₁₀₎
• 1001₍₂₎ → (絶対値)9₍₁₀₎ → (負数)－9₍₁₀₎
• 10101₍₂₎ → (絶対値)21₍₁₀₎ → (負数)－21₍₁₀₎
• 110001₍₂₎ → (絶対値)49₍₁₀₎ → (負数)－49₍₁₀₎

というような数の集合になります。これらの負数を4で割ると余りは「3」または「－1」になります。ここで、設問の「除算の商は，絶対値の小数点以下を切り捨てるものとする」という条件を適用すると、

• －5÷4＝－1.25 → 絶対値の小数点以下を切り捨てると商は－1
  商が－1ならば余りは－1
• －9÷4＝－2.25 → 絶対値の小数点以下を切り捨てると商は－2
  商が－2ならば余りは－1

というように、常に「4で割った余りは－1」になります。

以上より、最下位2ビットが"11"である整数値を4で割った余りは、その整数値が正ならば3、負ならば－1になります。よって「ア」の記述が適切です。

2の補数

2進数で負数を表現する方法の一つです。ある負の数を2の補数で表すには、①その負の数の絶対値を2進数に直し、②すべてのビットを反転して、③その結果に1を加えます。

例えば、10進数表記の -10 は以下の手順で2の補数に変換します。

1. -10の絶対値である10を2進数に直す。
   　10₍₁₀₎ →　1010₍₂₎
2. 1010₍₂₎の全ビットを反転させる。
   　1010₍₂₎ → 0101₍₂₎
3. ②の結果に1を加える。
   　0101₍₂₎ → 0110₍₂₎