分野 ：テクノロジ系
中分類：基礎理論
小分類：離散数学

16ビットの数値表現では、2¹⁶種類の数を表現することができます。符号なし（正の数のみ）では「0～65535」、符号付き（正＆負）では「-32768～32767」の範囲の数値表現が可能です（-32768～32767＝-2^16-1～2^16-1-1）。

選択肢の16進表現を2進数に変換すると次のようになります。

• 1FFF → 0001 1111 1111 1111
• DFFF → 1101 1111 1111 1111
• E000 → 1110 0000 0000 0000
• FFFF → 1111 1111 1111 1111

符号付き16ビットでは、先頭1ビットが符号ビット、下位15ビットの値が絶対値です。よって、選択肢のうち「ア」は正の数、それ以外は負の数を表しているということになります。

この設問では「負数を2の補数で表現する」とあります。2の補数は、負数に対応する正の数のビット列を反転し、1を加えることで負数を表現する方法です。2の補数で表現されたビット列は、再度ビット反転して1を加えることで、元の値に戻る性質があります。この性質を利用して、それぞれの数の絶対値を求めます。

• 正の数なのでそのまま → 0001 1111 1111 1111
• 1101 1111 1111 1111 → 0010 0000 0000 0001
• 1110 0000 0000 0000 → 0100 0000 0000 0000
• 1111 1111 1111 1111 → 0000 0000 0000 0001

これらを4倍してみます。4倍なのでビット列全体を左に2ビットシフトすればOKです。

• 0001 1111 1111 1111 → 0111 1111 1111 1100
• 0010 0000 0000 0001 → 1000 0000 0000 0100
• 0010 0000 0000 0000 → 1000 0000 0000 0000
• 0000 0000 0000 0001 → 0000 0000 0000 0100

• 絶対値は32764です。符号付き16ビットで表現できる範囲内なので、あふれは生じません。
• 正しい。絶対値は32772です。元は負数なので-32772となり、符号付き16ビットで表現できる範囲を超えてしまうため、あふれが生じます。
• 絶対値は32768です。元は負数なので-32768となり、あふれは生じません。符号付き16ビットで表現できる最も小さい値です。
• 絶対値は4です。あふれは生じません。2の補数表現ですべてのビットが1である数値に対応するのは－1であることを覚えておきましょう。