ここからf(5)に向かって遡って計算していきます。
f(2)＝2＋1＝3
f(3)＝3＋3＝6
f(4)＝4＋6＝10
f(5)＝5＋10＝15
したがって f(5)＝15 になります。

解説のこの部分をやることとやっていること理解できませんの解説いただけますでしょうか。
n+f(n-1)の部分は大丈夫です。

①  f(5)＝5＋f(5-1)
②  f(4)＝4＋f(4-1)
③  f(3)＝3＋f(3-1)
④  f(2)＝2＋f(2-1)
⑤  f(1)＝1
は大丈夫ということですね。

⑥  f(2)は④より、2＋f(1)  ⑤を代入して、2＋1＝3
⑦  f(3)は③より、3＋f(2)  ⑥を代入して、3＋3＝6
⑧  f(4)は②より、4＋f(3)  ⑦を代入して、4＋6＝10
⑨  f(5)は①より、5＋f(4)  ⑧を代入して、5＋10＝15

もっとシンプルに解くと、
f(5)＝5＋f(4)＝5＋(4＋f(3))＝5＋(4＋(3＋f(2)))＝5＋(4＋(3＋(2＋f(1))))＝5＋(4＋(3＋(2＋1)))＝15