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タイトルの問題のマクロの部分が、こちらのサイトの解説を見ても理解できません。結局min_time ,min_noの変数が何を指しているのかわかりません。特にeの空欄前後の動きがわからないので、どなたか詳しく解説していただけますでしょうか。

あの後、再度解きなおしましたが、min_timeの変数は配列end_timeから求めた最小終了時間を格納するものであっていますか？
その場合、はじめはmin_timeには初期値０が格納されていましたが、配列end_timeから最小終了時間を求めるにはmin_time＞end_time[i]をして求めるという思考が必要であったということでしょうか。。
（min_timeには０しかなかったため、はじめは解説みてもなぜmin_time＞end_time[i]をしなくてはならないのかわかりませんでした。。。）

min_timeにはendtime[窓口番号1～8]の最小の終了時刻を格納します。
最初はendtimeの要素はすべて０で初期化されているので、空欄eの分岐に入ることなく、来店状況で与えられた終了時刻が格納されます。
全ての窓口番号に終了時刻等を割り当てたあと、つまりwork_lineの値が９になった所から、空欄eの分岐を用いて、窓口１－８のうちどれの終了時刻が一番早いのかが判断されます。その上で、受付時刻と終了時刻を比較して、空欄f以降の処理が行われます。

アメフラさん  ありがとうございます。後々わかったのですが、やはり問題になっているところは9行目からの処理ということだったんですよね。解説いただきありがとうございます！