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令和元年秋期試験問題 午前問4の問題がわかりません。

解説を読んでも動画を参照しても理解ができず困っています。
どなたか易しく説明してくださると幸いです。

どうかお願いいたします。

令和元年秋期試験問題  午前問4

https://www.fe-siken.com/s/kakomon/01_aki/q4.html

こちらの問題でしょうか。解説の通りの説明になってしまうので解説のどこが分からないか教えていただけますか。

分子  b(t+1)
分母  a(t^2-t)
の所から説明します。

分母は、変形して  a*t*(t-1)になります。

t→∞  の時
t-1→∞  t→∞  t+1→∞になります。

分子には、∞に近づく数が１つ
分母には、２つあります。
t-1,t,t+1は、tを大きくしていけばほとんど同じような大きさになるので、
分母と分子から、1つずつ減らします。（約分みたいなもの）
すると、分母に∞に近づく数が１つ残るので、極限値は０になります。

解説の、「分子の増加量よりも分母の増加量が多くなります。」とは、このことだと思います。

論点がずれていたらすみません。

g(t) / ƒ(t) = b(t＋1) / a(t2－t)
分子と分母をt^2 で割ると、
b(1/t+1/t^2) / a(1-1/t)
t→∞ のとき
1/t→0
1/t^2→0
なので、
分子は、b(0+0)→0
分母は、a(1-0)→a
よって、0/a→0
「ア」が正解
これでどうでしょう？

No4. wrinklyさんの投稿で分からなければ以下も参考にしてください。

t→∞でt、t^2は∞に発散しますから1/t、1/t^2はともに0に収束します。

t→∞ t/t^2 は分母と分子をそれぞれ極限をとると、∞/∞となります。∞/∞は不定形の１つです。∞/∞になるものは変形して極限を取りましょう。

t/t^2は分母分子をtで割っても同じ。分母分子をtで割って、1/tになる。

t→∞ 1/tは0になるので、t→∞ t/t^2も0になる。

問題のg(t)/f(t)も分母分子をそれぞれ極限をとると、∞/∞の不定形になります。

ということでg(t)/f(t)を式変形して極限を適用します。

式変形はwrinklyさんがおっしゃっているように分母分子をt^2で割ってみてください。

この投稿は投稿者により削除されました。(2023.08.11 10:54)

私も数学がわからないのでこの手の問題の解説がわからないのは共感します。

ちゃんとした解説は他の数学つよつよの方に任せて

私だったらこの手の問題の場合こうやって解いていくという流れで書きます。
この手の問題の場合分かる範囲でとりあえずいくつかの数字（大体１から３程度）を適当に当てはめ変化を観測して感覚的に解いてます。
※擬似言語問題とかでの出題では５・６つの数字が与えられた場合でも、小さな３つぐらいの数字に変えて検証するもこれの類似系と思ってます。

今回であれば、aとbは一定で変化しないのでほぼ無視して良くて
変化していくのはtだけです。

プログラム的にtが１から１０に変化するみたいに考えたら
f(t)＝1+1, 2+1, 3+1・・・10+1
g(t)＝1-1, 4-2, 9-3・・・100-10
f-gの差＝2,  1,  -5・・・-79
と数字が大きくなればなるほど差も大きく、差がひらく一方だというのが感覚的にわかります。
さらにこの数字の当てはめはすごい大きな数まで（無限）繰り返される。

出題は引き算ではなく分数なので、分母のfと分子のgの差が大きくなるということは小数点のすごい小さな数になっていく・・・のであればこれが正解なのでは？という導き方でやってました。

検算としてロピタルの定理を使ったものも紹介しておきます。ロピタルの定理は使える条件があるのですが、基本情報レベルなら使えるものしか出ないような気がします。

ロピタルの定理:
-∞ <= k <= ∞として、
（※）ある条件を満たすとき、
limx→k g(x)/f(x) ＝ limx→k g’(x)/f’(x)になる。

f’(x)はf(x)の微分です。

limx→∞ g(x)/f(x) = b(x＋1) / a(x^2－x)

ある条件を満たすのでロピタルの定理を適用すると、

limx→∞ g(x)/f(x) ＝ limx→∞ g’(x)/f’(x) ＝ limx→∞ (b*1)/a*(2x-1) = 0

(※ある条件を満たすことの確認
①limx→∞ f(x) = limx→∞ g(x) = ∞
②f’(x)がk以外のkの十分近くでf’(x) ≠ 0
f’(x) = a*(2x-1)、kを∞とすると、f’(x)はkの近くでは∞になるのでOK
③limx→∞ g’(x)/f’(x)が存在する。
）

数学屋ではないので厳密ではないですが…
もちろんwrinklyさんがやったように、分母の最高次の項で分母分子を割るというのが、極限を求めるときに一般的にやることです。

No.8 ちょっと語弊があったので訂正

>ロピタルの定理は使える条件があるのですが、基本情報レベルなら使えるものしか出ないような気がします。

不定形の極限の中でロピタルの定理が使えないものは出ない気がするという意味です。不定形にならない場合は分母分子微分して極限とっても一致しない可能性が高いです。

>limx→∞ g(x)/f(x) = b(x＋1) / a(x^2－x)

limx→∞ g(x)/f(x) = limx→∞ b(x＋1) / a(x^2－x)ですね。

boyonboyonさん
wrinklyさん
まーぼさん
電タックさん

ご丁寧な回答を誠にありがとうございます。
皆様のおかげでやっと理解することができました。

特に電タックさんの解説は、数学が苦手なわたしにとって理解しやすく、大変助かりました。

重ねてお礼申し上げます。