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「システムの稼働率は，MTTRとMTBFを長くすることによって向上する。」についてですが

これは間違えであると解説にありますが、
例えば、MTBF = 2  MTTR=4  のケースと  
MTTR と  MTBFを  それぞれ長くした    、MTBF = 4 MTTR=6  
を比べてみると後者 （MTTR と  MTBFを  それぞれ長くした)が長くなりました。
※5/15  と  6/15  です。

間違えてますでしょうか？
  

重大な考え違いがあります。

MTBF = 4  MTTR=2  のケースと  
MTTR と  MTBFを  それぞれ長くした    、MTBF = 6 MTTR=4
を比べてみてください。

命題「システムの稼働率は，MTTRとMTBFを長くすることによって向上する。」は必ず向上すると述べています。MTTRとMTBFを長くする仕方によって向上したり、しなかったりしますので、この命題は誤りです。

MTBFは正常に作動している時間、MTTRは修理に要する時間
MTBF<MTTRなんて現実的ではないですよね？

MTBF = 平均故障間隔
MTTR = 平均修復間隔

                             (MTBF)
稼働率を求める計算式は  ―――――――― となります。
                        (MTBF) + (MTTR)

MTTRの分だけ分母が大きくなる = 稼働率が下がる形になるのでMTTRは短いほうが稼働率は上がります。

スレ主さんのケースではそもそもの稼働率が低すぎるパターン(MTBF<MTTR)になり、MTBFの増える割合のほうが大きくなるために結果として稼働率が上がっていますが、理論的に稼働率が50％を超えることができないため現実的ではありません。

スレ主さんの提示したケースをすこし整理したうえで問題を提示したいと思います。

MTBF = 2, MTTR = 4のとき
そのままの状態で稼働率を計算
 2 / (2 + 4) = 2 / 6 = 0.3333333…  約33.3％
MTBF, MTTR をともに1増やしたとき
(2 + 1) / ((2 + 1) + (4 + 1)) = 3 / (3 + 5) = 3 / 8 = 0.375 37.5％
MTBF を 1 増やし、MTBRを 1 減らしたとき
(2 + 1) / ((2 + 1) + (4 - 1)) = 3 / (3 + 3) = 3 / 6 = 0.5 50％

このような場合でもMTTRが大きくなるパターンよりも、小さくなるパターンのほうが大きく伸びることがわかるかと思います。

ここまで議論が続きましたので、私も少しだけ。

「稼働率を大きくするには、MTBFを大きくし、MTTRを小さくすればよい」ことについて説明します。MTBFをx、MTTRをyとします。

稼働率＝x／(x＋y)
この式からは、稼働率を大きくするにはyを小さくすればよいことはすぐに分かりますが、xを大きくすればよいことは直感的には分かりません。そこで、式を変形します。

稼働率＝x／(x＋y)＝1／((x＋y)／x)＝1／(1＋y／x)
これを大きくするには、分母1＋y／xを小さくすればよく、そのためにはy／xを小さくすればよく、そのためにはxを大きくし、yを小さくすればよいです。

ありがとうございます。
そもそも前提が間違っていたようです。

自分が設定した稼働率であると現実的ではないということも理解致しました。